Filtracja Wienera


Podstawy filtracji adaptacyjnej zostały sformułowane przez Norberta Wienera pod koniec lat 40-tych. Obecnie, filtracja typu wienerowskiego odgrywa znaczącą rolę w wielu dziedzinach, takich jak: predykcja liniowa, kodowanie sygnałów, usuwanie echa, rekonstrukcja sygnałów, identyfikacja systemów, itp.
Filtracja Wienera może być oparta zarówno na filtrach o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (NOI), jak również na filtrach o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI). W przypadku zastosowania filtrów NOI, filtry takie mogą być niestabilne, jak również proces filtracji adaptacyjnej może prowadzić do zatrzymania się w tzw. minimum lokalnym, nie osiągnąwszy wymaganego celu. Filtry Wienera SOI są natomiast zawsze stabilne, algorytmy wyznaczania współczynników wagowych są efektywniejsze, choć liczba tych wag jest znacznie większa niż w przypadku filtrów typu NOI. Stąd też w praktyce spotyka się najczęściej filtry Wienera o strukturze SOI.
Strukturę filtru Wienera typu SOI przedstawiono na poniższym rysunku. Na wejście filtru podawany jest w chwili k-tej sygnał , na wyjściu zaś otrzymywana jest wartość , będącą estymatą pożądanego sygnału . Filtr reprezentowany jest przez wektor współczynników w, gdzie , zaś P oznacza rząd filtru.
W praktycznych implementacjach, filtr Wienera przyjmuje najczęściej postać filtru transwersalnego, jak na rysunku poniżej. Podobnie jak w przypadku struktury SOI, na wejście podawany jest P-elementowy wektor natomiast na wyjściu otrzymywany jest sygnał . Jednocześnie prezentowany jest sygnał pożądany . Niekiedy w literaturze można spotkać wprowadzoną przez Widrowa nazwę takiej struktury jako ADALINE (ang. adaptive linear combiner).

W przypadku filtracji adaptacyjnej typu wienerowskiego, istotną rolę odgrywa algorytm aktualizacji wartości wagowych. Do głównych metod doboru współczynników wagowych należą:

– rekurencyjna metoda najmniejszych kwadratów RLS,

– metoda największego spadku,

– metoda najmniejszych średnich kwadratów LMS

Ich cechą charakterystyczną jest iteracyjny sposób estymacji współczynników wagowych gdzie jest wektorem wag, k jest indeksem czasu, natomiast wektor jest wektorem aktualizującym wartości współczynników wagowych.