Logika Rozmyta


Wnioskowanie oparte na dwuwartościowej logice Arystotelesa oraz klasycznie pojmowanych zbiorach nie jest w stanie rozwiązać wielu sprzeczności i niejednoznaczności, jakie występują przy przetwarzaniu danych rzeczywistych.

Zaproponowana przez Zadeha w 1965 roku wielowartościowa logika – logika rozmyta (ang. fuzzy logic) wraz z opartym na niej systemem wnioskowania okazała się niezwykle przydatna w zastosowaniach inżynierskich i znalazła sobie trwałe miejsce we współczesnych naukach technicznych. Systemy logiki rozmytej charakteryzują się dużą prostotą i elastycznością struktury przy jednoczesnym zachowaniu wysokiej skuteczności. Są one oparte na bazie reguł IF-THEN, a tworzenie bazy reguł jest proste i naturalne. Ze względu na swoją efektywność w przetwarzaniu danych rzeczywistych, wnioskowanie rozmyte wykorzystywane jest w różnego rodzaju systemach ekspertowych i decyzyjnych.

Teoria zbiorów rozmytych jest uogólnieniem klasycznej teorii zbiorów. Klasyczna, kantorowska teoria zbiorów zakłada, że dowolny element należy lub nie należy do danego zbioru. Natomiast w teorii zbiorów rozmytych element może częściowo należeć do pewnego zbioru, a przynależność tę można wyrazić przy pomocy liczby rzeczywistej z przedziału [0,1]. Zatem funkcja przynależności jest zdefiniowana następująco:

,

gdzie f(x) jest funkcją zwracającą wartość – stopień przynależności – z zakresu [0,1].

Zbiory z określoną funkcją przynależności jak w powyższym wzorze są nazywane zbiorami rozmytymi. Dwa zbiory rozmyte są równe, gdy spełniona jest równość:

Funkcje przynależności zazwyczaj są przedstawiane w postaci graficznej i mogą mieć dowolną postać. Często stosuje się trapezoidalną funkcję , której wykres przedstawiono na poniższym rysunku, ilustrującym również podstawowe pojęcia związane z teorią zbiorów rozmytych.

Teoria zbiorów rozmytych wprowadza nowe definicje operacji na zbiorach. Niech i będą funkcjami przynależności do zbiorów X1 i X2. Wówczas operacje na tych zbiorach są zdefiniowane następująco:

– iloczyn logiczny AND: ,

– suma logiczna OR: ,

– uzupełnienie logiczne NOT: ,

Praca systemu decyzyjnego opartego na logice rozmytej zależy od definicji reguł rozmytych w bazie reguł. Reguły te mają postać IF…AND…THEN. np.:

IF a is A1 AND b is B1 THEN c is C1

IF a is A2 AND b is NOT B2 THEN c is C2

gdzie: a, b, c są zmiennymi lingwistycznymi, natomiast A1, …, C2 są podzbiorami rozmytymi. Istotną cechą odróżniającą reguły rozmyte od klasycznych reguł IF-THEN jest wykorzystanie zmiennych opisujących zbiory rozmyte, występowanie mechanizmu określającego stopień przynależności elementu do zbioru oraz wykorzystanie operacji na zbiorach rozmytych. Zasady te mają daleko idące konsekwencje w procesie wnioskowania. Na poniższym rysunku przedstawiono schemat systemu przetwarzania danych z wykorzystaniem wnioskowania rozmytego.

Przetwarzanie wstępne oraz przetwarzanie końcowe

Celem przetwarzania wstępnego jest przygotowanie danych uzyskanych z wejścia systemu do formatu akceptowanego przez moduł wnioskowania. Analogicznie, przetwarzanie końcowe służy do konwersji danych wyjściowych z tego modułu do postaci zgodnej z wymogami zewnętrznymi. Sam moduł wnioskowania oczekuje na wejściu ciągu liczb rzeczywistych i zwraca również ciąg liczb rzeczywistych.

Fuzyfikacja

Procedura fuzyfikacji, określanej także mianem rozmywania, polega na transformacji wartości z dziedziny liczb rzeczywistych na wartość z dziedziny zbiorów rozmytych. W tym celu dokonuje się wyznaczenia wartości funkcji przynależności dla kolejnych zmiennych lingwistycznych i dla danej rzeczywistej wartości wejściowej.

Interpretacja reguł rozmytych

Niniejszy etap składa się z dwóch podetapów. W pierwszej kolejności realizowany jest proces obliczania mocy reguł. W tym celu dla każdej zmiennej w przesłankach reguły wyznaczane są stopnie przynależności do odpowiedniego zbioru rozmytego. Ze względu na operację logiczną AND, moc reguły jest obliczana jako wartość minimalna ze wszystkich stopni przynależności. Jeśli wartość mocy reguły jest zerowa, wówczas uznaje się, że reguła nie nastąpiła aktywacja reguły. Jednocześnie wyznaczany jest zbiór rozmyty będący rezultatem uaktywnienia reguły. Zależy on od kształtu odpowiedniej funkcji przynależności oraz obliczonej mocy reguły. W następnym kroku następuje agregacja aktywnych reguł. Polega ona na sumowaniu rozmytych zbiorów wynikowych ze wszystkich reguł. Otrzymany w ten sposób zbiór rozmyty jest zbiorem wynikowym wnioskowania rozmytego.

Defuzyfikacja

Po zakończeniu procedury agregacji reguł, wynikiem wnioskowania rozmytego jest zbiór rozmyty. Zadaniem defuzyfikacji, zwanej również wyostrzaniem, jest zatem przekształcenie odwrotne do rozmywania, czyli transformacja wartości z dziedziny zbiorów rozmytych do dziedziny liczb rzeczywistych. Przekształcenie to można wyrazić na wiele sposobów. Do głównych metod defuzyfikacji należą:

– metoda największej wartości funkcji przynależności

– metoda centrowego środka ciężkości

– metoda wyznaczania środka ciężkości