Filtracja Kalmana

W 1960 roku został opublikowany artykuł, w którym jego autor, Węgier Rudolf Kalman, opisał rekurencyjne rozwiązanie problemu dyskretnej liniowej filtracji. Problem ten dotyczył oszacowania chwilowego stanu układu dynamicznego na podstawie pomiarów tego stanu, przy założeniu, że zarówno pomiar jak i sam proces przetwarzania wewnątrz układu są obarczone błędem. Zakłada się, że te zakłócenia są białym szumem typu gaussowskiego. Ze względu na szerokie zastosowania, filtr Kalmana stał się obiektem intensywnych badań i od czasu pierwszej publikacji wprowadzono wiele modyfikacji i ulepszeń

Problem filtracji Kalmana dotyczy oszacowania stanu dyskretnego procesu, który jest opisywany przez stochastyczne równanie liniowe w chwili „k”
Niech oznacza estymatę a priori stanu układu w chwili k, czyli wiedzę o procesie przed tym momentem oraz niech oznacza estymatę a posteriori stanu w chwili k, czyli wiedzę na podstawie pomiaru . Na tej podstawie można zdefiniować a priori i a posteriori estymaty błędu oraz odpowiadające im macierze kowariancji :

– estymaty a priori: ; ,

– estymaty a posteriori: ;

Zasada rekurencji dla filtru Kalmana polega na tym, że w danej chwili k-tej, dokonywany jest pomiar stanu , na podstawie którego oraz estymaty a priori w chwili k-1 wyznaczana jest estymata a posteriori . Służy ona następnie do predykcji estymaty stanu w następnym, (k+1)-szym momencie. A zatem równania opisujące filtr Kalmana dzielą się na dwie kategorie: równania aktualizujące w chwili k oraz równania predykcyjne dla chwili k+1. Szczegóły związane z filtracją Kalmana jak również z jej algorytmiczną stroną są opisane w bogatej literaturze przedmiotu.